A álgebra geométrica do espaço-tempo.pdf

...18cao e nesse caso a #13unica fer- ramenta #28cient#13#10#0Cca!#29 que nos resta para explorarmos o mundo quadrimensional #13e a Matem#13atica. A linguagem matem#13atica#13e mais do que a linguagem da F#13#10sica: #13e a linguagem e a visao. Entretanto, nao basta um bom treinamento matem#13atico para podermos #5Cver atrav#13es de s#13#10mbolos e equa#18coes. #13 E preciso acima de tudo um formalismo matem#13atico adequado para li- dar com estes s#13#10mbolos, de modo que as rela#18coes ex- pressas pelas equa#18coes dentro deste formalismo possam ser plenamente compreendidas e interpretadas. Mais ainda, este formalismo deve ser geral, por exemplo no sentido em que possa ser utilizado no estudo de espa#18cos bidimensionais, tridimensionais, quadrimensionais, etc. Com efeito, qual a utilidade para a TR de um forma- lismomatem#13aticoque s#13o possa ser aplicado a um espa#18co tridimensional? Esta #13e a situa#18cao da #13algebra vetorial de Gibbs- Heaviside! Primeiro, devemos lembrar a importancia de uma #13algebra vetorial. De fato, v#13arias quantidades f#13#10sicas e geom#13etricas tem natureza vetorial. Nao ape- nas a de#0Cni#18cao de algumas destas quantidades como tamb#13em certas rela#18coes dependem da de#0Cni#18cao de um produto de vetores. Um espa#18co vetorial equipado com um produto de vetores #13e o que denominamos uma #13algebra vetorial. A #13algebra vetorial de Gibbs-Heaviside #13e aquela na qual o produto de vetores #13e o conhecido produto vetorial, plenamente difundido entre os alunos de F#13#10sica e outras Ciencias desde o primeiro ano de estudos. Ocorre que este produto vetorial nao existe 1 Ao longo deste artigo consideraremos apenas a chamada Relatividade Restrita e nao a Relatividade Geral. TR ser#13a portanto sinonimo aqui de TRR. 6 Jayme Vaz Jr. em espa#18cos bidimensionais ou quadridimensionais, por exemplo. Ora, isto #13e um defeito imperdo#13avel! 2 Uma estrutura matem#13atica cuja aplicabilidade se limita uni- camente a um espa#18co tridimensional nao pode merecer muito cr#13edito ela #13e de fato est#13eril pois nao pode ser reproduzida para outros espa#18cos e portanto nao per- mite que atrav#13es de compara#18cao e generaliza#18cao outros mundos possam ser explorados matematicamente. Paradoxalmente, decorrido quase um s#13eculo da TR, a#13algebra vetorial de Gibbs-Heaviside ainda #13e a estru- tura alg#13ebrica b#13asica envolvida sobretudo no ensino da F#13#10sica Cl#13assica. O que precisamos aqui #13e de uma outra estrutura matem#13atica baseada em uma outra de#0Cni#18cao do produto de vetores em termos da qual possamos for- mular os conceitos e as teorias f#13#10sicas que tem lugar em um espa#18co tridimensional mas que nao esteja limi- tada a este espa#18co. De#0Cnitivamente a #13algebra de Gibbs- Heaviside nao #13e esta estrutura. Nesse caso a pergunta #13obvia #13e: existe alguma alternativa? Neste artigo pretendemos apresentar as chama- das #13algebras de Cli#0Bordou#13algebras geom#13etricas como esta alternativa e explorar sua utiliza#18cao dentro da TR. Antes mesmo do advento da #13algebra vetorial de Gibbs-Heaviside, W. K. Cli#0Bord apresentou esta es- trutura #7B que ele denominou #13algebras geom#13etricas #7B que nao cont#13em certos problemas conceituais presen- tes na #13algebra de Gibbs-Heaviside e que nao est#13a li- mitada a um espa#18co tridimensional. A diferen#18ca entre as #13algebras geom#13etricas e a #13algebra de Gibbs-Heaviside est#13a na de#0Cni#18cao do produto de vetores. O produto geom#13etrico #28ou de Cli#0Bord#29 de vetores nao apenas pode ser de#0Cnido em qualquer espa#18co vetorial como tamb#13em cont#13em mais informa#18coes do que o produto vetorial usual #28quando este existe#29. Ele tamb#13em possui ou- tras vantagens como associatividade e existencia de um elemento inverso, propriedades que nao sao satisfeitas pelo produto vetorial da #13algebra de Gibbs-Heaviside. A#13algebra geom#13etrica do espa#18co euclideano #5B1#5D permite uma completa formula#18cao dos desenvolvimentos das #13areas cl#13assicas da F#13#10sica #28como por exemplo a Mecanica #5B2#5D e o Eletromagnetismo #5B3#5D#29 com v#13arias vantagens so- bre as formula#18coes usuais. Uma das maiores vantagens, por#13em, aparece quando sa#13#10mos do dom#13#10nio cl#13assico dos fenomenos e entramos no dom#13#10nio quantico. De fato, dentro da #13algebra geom#13etrica est#13a presente o conceito de spinor #5B1#5D, que #13e o objeto matem#13atico em termos do qual descrevemos quanticamente os f#13ermions de spin 1#2F2 como o el#13etron. Consequentemente, o mesmo for- malismo pode ser utilizado para descrever fenomenos cl#13assicos ou quanticos! Do ponto de vista do estudo da TR, existem duas grandes vantagens no formalismo das #13algebras geom#13etricas. Primeiro, a passagem do espa#18co tridimen- sional para o espa#18co-tempo quadridimensional dentro deste formalismo se faz simplesmente trocando #28com as devidas adapta#18coes#29 n 3porn 4. Depois existe a particularidade do...

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