Algebra Linear

...vetorial então S [S] 5. [S T] [S] + [T]. Prova: 3.2. GERADORES 25 1. Se u S então u 1u [S] 2. Se u [S] então existem ?1,?n R e u1,un S tais que u ?1u1 + + ?nun. Como S T temos u1,un T e, portanto, u [T] 3. Pelo item 1 desta proposição, [S] [[S]]. Seja u [[S]]. Segue da definição que u é uma combinação linear de elementos de [S], mas como cada elemento de [S] é uma combinação linear de elementos de S resulta que u é uma combinação linear de elementos de S, ou seja, u [S] 4. Pelo item 1, S [S]. Seja u [S]. Então u é uma combinação linear de elementos de S. Como S é um subespaço vetorial, esta combinação linear é um elemento de S 5. Seja u [S T]. Por definição, existem ?1,?n,?1,?m R e u1, un S e v1,vm T tais que u ?1u1 ++ ?nun + ?1v1 ++ ?mvm (?1u1 ++ ?nun) + (?1v1 ++ ?mvm) [S] + [T]. Reciprocamente, se u [S]+[T] então u v+w com v [S] e w [T]. Dessa forma, existem ?1,?p,?1,?q R e v1,vp S e w1,wq T tais que u v + w ?1v1 ++ ?pvp + ?1w1 ++ ?qwq [S T]. Definição 3.8 Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existir um subconjunto finito S V tal que V [S]. São exemplos de espaços vetoriais finitamente gerados: 1. Pn(R) [1,x,xn] 2. Rn é gerado por e1 (1,0,0), e2 (0,1,0,0), en (0,0,1). 3. Mmn(R) é gerado pelas matrizes Ekl (?(k,l)i,j ), k 1,m, l 1,n, onde ?(k,l)i,j braceleftBigg 1 se (i,j) (k,l) 0 caso contrário 26 CAPÍTULO 3. COMBINAçÕES LINEARES Exemplo 3.9 Seja P(R) o espaço vetorial formado por todos os polinˆomios. Afirma- mos que P(R) não é finitamente gerado. Note que Pn(R) P(R) para todo n N. Se P(R) fosse finitamente gerado existi- riam polinˆomios p1(x),pn(x) tais que P(R) [p1(x),pn(x)]. Seja N o grau mais alto dentre os polinˆomios p1(x),pn(x). É evidente que xN+1 não pode ser es- crito como combinação linear de p1(x),pn(x) e, assim, xN+1 negationslash [p1(x),pn(x)] P(R). Uma contradição. Note que [1,x,x2,] Pn(R). Exemplo 3.10 Seja V um espaço vetorial gerado por u1,un. Mostre que se, por exemplo, u1 é uma combinação linear de u2,un então V é gerado por u2,un. Devemos mostrar que qualquer u V se escreve como uma combinação linear de u2,un. Sabemos que existem ?1,?n R tais que u ?1u1 + + ?nun e existem também ?1,?n1 satisfazendo u1 ?1u2 ++ ?n1un. Combinando estas informações, obtemos u ?1(?1u2 ++ ?n1un) + ?2u2 ++ ?nun (?1?1 + ?2)u2 ++ (?1?n1 + ?n)un [u2,un]. Exemplo 3.11 Sejam U (x,y,z,t) R4xy + t + z 0 e V (x,y,z,t) R4x+yt+z 0. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais: U, V, U V e U + V. 1. Se (x,y,z,t) U então y x + z + t e, portanto, (x,y,z,t) (x,x + z + t,z,t) x(1,1,0,0) + z(0,1,1,0) + t(0,1,0,1), isto é, U [(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1)]. 2. Se (x,y,z,t) V então t x + y + z e, portanto, (x,y,z,t) (x,y,z,x + y + z) x(1,0,0,1) + y(0,1,0,1) + z(0,0,1,1), isto é, V [(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)]. 3.3. EXERCÍCIOS 27 3. Se (x,y,z,t) U V então braceleftBigg xy + t + z 0 x + y t + z 0, que implica em x z e y t. Desse modo, (x,y,z,t) (x,y,x,y) x(1,0,1,0) + y(0,1,0,1) e, portanto, U V [(1,0,1,0),(0,1,0,1)]. 4. Como U + V [U] + [V ] [U V ], temos que U + V [(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1), (1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)] [(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,1),(0,0,1,1)]. Observe que (1,1,0,0) (1,0,0,1) + (0,1,1,0)(0,0,1,1) e, portanto, U + V [(0,1,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,1),(0,0,1,1)]. Veremos mais adiante que este é o número m?nimo de geradores para o subespaço U + V. 3.3 Exerc?cios Ex. 3.12 Para cada um dos subconjuntos S V onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, [S]. 1. S (1,0),(2,1), V R2. 2. (1,1,1),(2,2,0), V R3. 3. S braceleftbig1,t,t2,1 + t3bracerightbig, V P3(R). 28 CAPÍTULO 3. COMBINAçÕES LINEARES 4. S braceleftbiggpar­enleftbigg 0 1 0 0 parenrightbigg parenleftbigg 0 0 1 0 parenrightbiggbrac­erightbigg V M2(R). Ex. 3.13 Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gera o subespaço vetorial W do espaço vetorial V. 1. W braceleftbig(x,y,z) V R3x2y 0bracerightbig. 2. W p V P3(R)pprime(t) 0,t R. 3. W braceleftbigA V M2(R)At Abracerightbig. 4. W X V M31(R)AX 0, onde A 0 1 0 2 1 0 1 1 4 Ex. 3.14 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaço vetorial V que geram U, W, U W e U + W. 1. U [(1,0,0),(1,1,1)], W [(0,1,0),(0,0,1)], V R3. 2. U braceleftbig(x,y,z) R3x + y 0bracerightbig, W [(1,3,0),(0,4,6)], V R3. 3. U braceleftbigA M2(R)At Abracerightbig, W [ parenleftbigg 1 1 0 1 parenrightbigg ], V M2(R). 4. U [t3 + 4t2 t + 3,t3 + 5t2 + 5,3t3], W [t3 + 4t,t1,1], V P3(R). Ex. 3.15 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaço vetorial V que geram U, W, U W e U + W. 1. U [(1,0,0),(1,1,1)], W [(0,1,0),(0,0,1)], V R3. 2. U braceleftbig(x,y,z) R3x + y 0bracerightbig, W [(1,3,0),(0,4,6)], V R3. 3. U braceleftbigA M2(R)At Abracerightbig, W [ parenleftbigg 1 1 0 1 parenrightbigg ], V M2(R). 4. U [t3 + 4t2 t + 3,t3 + 5t2 + 5,3t3], W [t3 + 4t,t1,1], V P3(R). 3.3. EXERCÍCIOS 29 Ex. 3.16 Obtenha o subconjunto formado por vetores do espaço vetorial P3(R) que geram os seguintes sub...

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