Análise Estrutural

...pode ser determinado por: z AI2 yy Z A Q2y b2 dy dz onde, Qy Z Az z dy dz b Z h 2 z z dz b2 h2 4 z 2 Assim, o fator de forma pode ser escrito como: z AI2 yy Z A 1 4 h2 4 z 2 2 dy dz AI2 yy bh5 120 como A bh e Iyy bh312 obtem-se: z 65 Na tabela 1.110 lista-se fatores de forma para algumas secoes transversais: Secao Fator de forma z Retangular 6=5 Circular 10=9 Tubo de parede flna 2 Perfll Caixao ou \I A=Aalma Tabela 1.1: Fatores de forma z. 10Timoshenko, S.P. and Gere, J.M. \Mecanica dos Solidos LTC 1982. Prof. Marco Antonio de Mendonca Vecci 26 1.5.3 VigasColuna Observe que a energia e uma funcao naolinear e, como tal, seus termos nao podem ser simplesmente superpostos uns aos outros. No caso especflco de vigacoluna, as energias de viga e de trelica podem ser adicionadas desde que o sistema de eixos contenha o eixo elastico da viga como se mostra a seguir: xx NA + MzI Assim, a energia complementar pode ser escrita como: U 12 Z V xx2 E dV Substituindo a expressao da componente de tensao normal na equacao da energia, vem que: U 12 Z l 0 Z A 1 E N A + Mz I 2 dy dz dx ou U 12 Z l 0 Z A N2 EA2 +2 N EA Mz I + M2z2 EI2 dy dz dx Considerando que RA dy dz A, RA z2 dy dz I e que RA z dy dz 0, uma vez que z e a coordenada do sistema onde x coincide com o eixo elastico da barra e, portanto, tem momento estatico nulo, obtem-se: U 12 Z l 0 N2 EA dx+ Z l 0 M2 EI dx Observe, no entanto, que este e um caso bastante particular e que, em geral, o termo da energia difere do valor obtido pela simples soma da contribuicao de diferentes termos na expressao da energia. 1.5.4 Barras Solicitadas por Torcao Embora considere-se, inicialmente, barras de secao circular essa formulacao pode ser ex- tendida para barras prismaticas de secoes quaisquer. Prof. Marco Antonio de Mendonca Vecci 27 Para barras de secao circular, e conveniente expressar o tensor de deformacao em coorde- nadas polares flgura (1.10). Assim, a energia de deformacao pode ser escrita como: U Z V E 2(1+) 2 2 z E (1+) (2 0 z z) dV Na torcao, a deformacao de cisalhamento z e dada por: z z2 como, z dz rd ) z r2 d dz Substituindo z na expressao da energia de deformacao, vem que: U Z V E 2(1+) 2 r 2 d dz 2 E(1+) (20 z r2 d dz) # dV ou, U Z l 0 1 2 E 2(1+) d dz 2Z A r2 dA E(1+) d dz Z A 0 zr dA # dz Lembrando que G E2(1+), vem que: U Z l 0 1 2 GJ d dz 2 2G d dz Z A 0 zr dA # dz (1.44) onde, J Z A r2 dA Pode-se mostrar que para secao transversais nao circulares, a energia de deformacao de torcao11 e dada por: U Z l 0 1 2 GJ d dz 2# dz A componente de tensao de cisalhamento em barras de secao circular solicitadas por torcao pode ser expressa por: z TrJ 11A expressao geral de J para secao quaisquer sera obtida na deducao da expressao da energia com- plementar (Pagina 29). Prof. Marco Antonio de Mendonca Vecci 28 Figura 1.10: (a) Barra submetida ao esforco de torcao T. (b) Secao qualquer sob a acao do momento de torcao T. como a energia complementar em coordenadas polares e dada por: U Z V (1+) 2E (2 z 2)+20 z z dV tem-se: U Z V (1+) E Tr J 2 +20 z TrJ # dV ou, U 12 Z l 0 2(1+) E T2 J2 Z A r2 dA+ 2TJ Z A E 2(1+) 0 zr dA dz Simpliflcando, tem-se: U Z l 0 1 2GJ T2 +2TT0 dz (1.45) onde J e o momento polar de inercia, e T0 Z A G 0 zr dA Em secoes fechadas de parede flna12, a componente de tensao de cisalhamento, ilustrada na flgura (1.10.b) e dada por: xs qt T2A pt 12Relacao entre espessura da parede t e dimensoes caractersticas da secao, d, deve ser t d 10. Prof. Marco Antonio de Mendonca Vecci 29 onde Ap e a area compreendida no interior do permetro constitudo pela linha media da parede flna. Figura 1.11: Area setorial Substituindo essa relacao na expressao da energia complementar, tem-se: U Z V (1+) E T 2Apt 2 +20 z T2A pt # dV ou, U Z l 0 (1+) E I T2 4A2pt2 tds + E(1+) I 0 z T2A pt tds dz 12 Z l 0 2(1+) E T2 1 4A2p I ds t +T E 2Ap(1+) I 0 z ds dz Z l 0 1 2GJ T2 +2TT0 dz onde, J 4A 2 pH ds t e T0 GJ 2Ap I 0 z ds (1.46) e possvel demonstrar13, atraves da teoria de SaintVenant, que a energia complementar para barras solicitadas por torcao pode ser genericamente expressa por: U 12 Z l 0 T2 GJ dz 13Rivello, R. M. Theory and Analisys of Flight Structures, McGrawHill, 1969. Prof. Marco Antonio de Mendonca Vecci 30 onde, J 8 : Z A r2 dA Secao Circular 4A2pI ds t Secao Fechada de parede flna 13 Z b 0 t3()d Secao Aberta de parede flna. Em geral, J 4r2ˆ Z A ˆ dA onde ˆ e a funcao de tensao de Prandtl. 1.5.5 Energia Potencial Total Entre as diversas formas possveis de energia, apenas aquelas que descrevem o compor- tamento estatico da estrutura estao sendo consideradas neste texto. Para isso, suponha que, durante a aplicacao das cargas, os componentes estruturais apresentem deformacoes e deslocamentos inflnitesimais causados por carregamentos aplicados estaticamente (len- tamente). Tal suposicao, aliada a hipotese de que o fenomeno seja adiabatico, permite que se despreze pequenas mudancas nas energias cinetica e termica que ocorrem durante a deformacao. Entre as forcas capazes de realizar...

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