Analise Matematica 1 - Diferenciabilidade, Estudo de Fun豫o,.pdf

...pontos a recta y 2 intersecta o gráfico y x3 3x? Represente graficamente a recta e a curva. A recta é tangente a curva? 6. Considere a aplicação f(x) 2x2 + 3x + 1. (a) Indique os valores de x, para os quais fprime(x) é negativa, positiva e nula. (b) Determine o m?nimo de f(x). 8 7. Para cada uma das funções, estude a continuidade, determine as derivadas laterais da função f no ponto c e verifique se f é diferenciável em c. Interprete geometricamente os resultados obtidos. (a) f(x) 3x2 se x 1 2x3 + 1 se x 1 e c 1. (b) g(x) x + 1 se x 1 (x + 1)2 se x 1 e c 1. (c) h(x) x2 x se x 2 2x2 se x 2 e c 2 8. Considere a função f(x) x3 3x2 + 2x. (a) Indique os intervalos de monotonia de f. (b) Determine um intervalo fechado no qual os extremos absolutos da restrição de f são atingidos no interior do intervalo. (c) Faça um esboço do gráfico de f. 9. Determine os valores máximo e m?nimo da função f(x) x3 3x + 3 no intervalo [3, 32]. Faça um esboço do gráfico de f no intervalo indicado. 10. Considere a função f(x) x1+x2. Determine os valores máximo e m?nimo de f e faça um esboço do respectivo gráfico. 11. Considere a função f(x) log(x)x (a) Indique o dom?nio, zeros e o limite para infinito. (b) Indique os intervalos de monotonia, extremos relativos e os sentidos da conca- vidade de f (c) Faça o esboço do gráfico. 12. Estude cada uma das seguintes funções, determinando o dom?nio, os limites para infinito e os extremos. (a) f(x) x3 x + 1 (b) f(x) x2ex 9 (c) f(x) sen(x) + cos(x) 13. Para cada uma das seguintes funções, determine o máximo e m?nimo absolutos no intervalo indicado: (a) f(x) x2 4x + 3 em 1 x 3 (b) f(x) x3 6x2 + 9x + 2 em 0 x 4 (c) f(x) sen(x)cos(x) em 0 x 5 14. Determine os intervalos de monotonia, os extremos relativos e o contradom?nio das seguintes funções: (a) f(x) x3 3x2 + 1 (b) f(x) ex2 (c) f(x) x2 9 (d) f(x) 11+x2 15. Calcule, usando o diferencial, valores aproximados de: (a) 98 (b) 25.1 (c) arctg(1.05) 16. Justifique as afirmações verdadeiras, apresente um contra-exemplo para as falsas. (a) Toda a função cont?nua é limitada. (b) Se f diferenciável então é cont?nua. (c) Se f e g são crescentes, então f + g e f g são crescentes. (d) Se f e g são crescentes, então fg e f/g (onde g não se anula) são crescentes. (e) Se f e g têm concavidade voltada para cima, então f +g e fg têm concavidade voltada para cima. (f) Se f tem um extremo absoluto no ponto a então f2 também. (g) Se f crescente, então f2 é crescente. (h) Se f tem um extremo local num ponto a, então fprime(a) 0. (i) Se fprime(a) 0, então f tem um extremo local no ponto a. 10 7 Estudo de uma função 1. Considere a função f(x) x1 + log(x) (a) Determine o dom?nio de f (b) Estude a continuidade de f (c) Estude a diferenciabilidade de f (d) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f (e) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f (f) Determine o contradom?nio de f. 2. Considere a função definida por f(x) 2x2 4x + 5 (x1)2 x 2 x + 3, x 2 (a) Determine o dom?nio de f (b) Estude f quanto a continuidade (c) Estude f quanto a derivabilidade (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f (e) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f. 3. Considere a função definida por f(x) x log2(x), se x negationslash= 0 0, se x 0 (a) Determine o dom?nio de f (b) Estude f quanto a continuidade (c) Estude f quanto a derivabilidade (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f (e) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f. 4. Considere a função definida por f(x) x(1x)25 (a) Determine o dom?nio de f (b) Estude f quanto a continuidade 11 (c) Estude f quanto a derivabilidade (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f (e) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f. 12 8 Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 1. Determine um ponto no gráfico da parábola y x2 cuja tangente seja paralela a recta que une os pontos A (1,1) e B (3,9). Interprete geometricamente. 2. Mostre que a equação x cos(x) tem exactamente uma solução real no intervalo [0, pi2]. 3. Mostre que para qualquer número real positivo, x, é válida a desigualdade log(1 + x) x. Sugestão: Aplique o teorema de Lagrange no intervalo [0,x] a uma função adequada. 4. Mostre que a equação ex 1 + x tem uma única solução. Sugestão: Para a unicidade utilize o teorema de Rolle com f(x) ex 1x. 5. Verifique as condições do teorema de Lagrange para f(x) xx3 no intervalo [2,1] e determine o ponto c [2,1] referido na tese do mesmo teo- rema. 6. Prove que f(x) satisfaz as condições do teorema de Rolle e indique no intervalo dado os números c tais que fprime(c) 0, sendo: (a) f(x) x3 x [0,1]. (b) f(x) x4 2x2 8 [2,2]. (c) f(x) sen(x) [0,pi]. 7. Prove que a equação 4x3 + 6x 1 não tem soluções no intervalo ]1,0[. 8. Verifique as seguintes desigualdades (a) ex 1 + x + x 2 2 se x 0 13 (b) x x 3 6 sen(x) x, se x 0 9. Considere a função f(x) x2sen(1x) para x negationslash= 0 e f(0) 0. (a) Mostre que f é cont?nua e diferenciável no ponto 0...

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