Analise Matemática 1 -Limites e Continuidade.pdf

...5 Continuidade 1. Determine, caso existam, os seguintes limites: (a) limx1 sin(x1)x1 (b) lim x0 xcos parenleftBig1 x parenrightBig xx (c) lim x0 tg(x) xcos(x) (d) lim x+ 5x + 2x+1 6x1 + ex. 2. Seja h : D R R a função real de variável real definida por: h(x) 3 arcsen(x3) x2 9 se x 3 e1log[(x1)e] se x 3 (a) Verifique que D ]1,4]. (b) Sabendo que lim x0 arcsen(x) x 1, mostre que a funçãoé cont?nua no seu dom?nio. 3. Seja f a função definida em R, cont?nua no ponto x 1, dada por: f(x) log(x2 + 1) se x 0 a.arctg parenleftBigpi 4x parenrightBig se 0 x 1 x2 2x + 1 x1 se x 1 (a) Determine o valor da constante a (b) Estude a continuidade de f nos restantes pontos de R. 4. Seja f a função real de variável real definida por: f(x) e1x se x 0 log 11 + x2 se x 0 6 (a) Calcule limxf(x) e limx+f(x). (b) Justifique que f é cont?nua em todo o seu dom?nio. (c) Mostre que f é prolongável por continuidade ao ponto 0. 5. Mostre que a equação sin3(x) + xcos(x) 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]0,pi[. 6. Considere a seguinte função: m(x) x2 1 se x 2 2 x + 2 se x 2 Mostre que a função é cont?nua no seu dom?nio e indique o máximo e o m?nimo da função no intervalo [1,3]. 7. Considere a função t(x) cos parenleftBig 2x pi3 parenrightBig se x pi6 6x pi se x pi 6 (a) Estude a continuidade em R. (b) Prove que o teorema de Bolzano é aplicável a função no intervalo bracketleftBig pi2, pi2 bracketrightBig e determine os zeros da função nesse intervalo. (c) Calcule lim xpi6 t(x) x 7...

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