Análise Matricial Prova 1.pdf

...Prova 1 de Análise na RetaTodas as questoes tem o mesmo valor. Justifique todas as suas respostas.1. Mostre por induçao que(1 + x)n ? 1 + nx + n(n?1)2 x2para todo número real x ?1 e todo n ? N.2. O teorema dos intervalos encaixados diz que a interseçao de uma sequenciad­ecrescente de intervalos fechados e limitados nunca é vazia, ou seja, da-dos intervalos In [an,bn] satisfazendo I1 ? I2 ? ? In ? existepelo menos um número real c tal que c ? In para todo n ? N. Mostrepor meio de exemplos que é essencial que os intervalos sejam fechados elimitados, isto é, que esse teorema nao pode ser estendido para interva-los abertos da forma (an,bn), nem para intervalos semi-abertos da forma(an,bn], nem para intervalos ilimitados da forma (??,bn].3. (a) Para quais valores de x ? R a série?summationdisplayn=0xnn! converge?(b) Analisando as suas somas parciais, mostre que a série?summationdisplayn=11n(n + 1)converge. Use o critério de comparaçao para concluir que a série?summationdisplayn=11n2converge.(c) Sejam a,b ? R com 0 a b 1. Use o teste da raiz para concluirque a série a+b+a2 +b2 +a3 +b3 + converge. Mostre que o teste darazao nao permite concluir isso.4. Dizemos que uma sequencia (xn) é uma sequencia de Cauchy quandopara todo ? 0 existe n0 ? N tal que m,n ? n0 ? xm ? xn ?.Mostre que toda sequencia convergente é de Cauchy. Use o teorema deBolzanoW­eierstrass (Toda sequencia limitada tem uma subsequenciac­onvergente) para concluir a recíproca: Toda sequencia de Cauchy con-verge....

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