Aplicação da Transformada de Fourier no processamento digital de imagens.pdf

...sinais contínuos unidimensional 3. Convolução de sinais discretos unidimensionais 4. Convolução de sinais contínuos bi-dimensionais 5. Convolução de sinais discretos bi-dimensionais Funções de Correlação 1. Correlação cruzada entre sinais contínuos unidimensionais 2. Correlação cruzada entre sinais discretos unidimensionais 3. Correlação cruzada entre sinais contínuos bi-dimensionais 4. Correlação cruzada entre sinais discretos bi-dimensionais I Introdução O interesse em métodos de processamento digital de imagens vem principalmente de duas áreas de aplicações: melhoria de informação (imagem) para interpretação humana, e processamento de dados (imagens) em computador, e vem crescendo com aplicações no Programa Espacial, na Medicina, Arqueologia, Física, Astronomia, Biologia, Indústria etc. O termo imagem refere-se a uma função de intensidade de luz bi-dimensional f(x,y), onde x e y são coordenadas espaciais e o valor de f em um ponto qualquer (x,y) é proporcional ao brilho ou nível de cinza da imagem naquele ponto. Uma imagem digital é uma imagem f(x,y) discretizada no espaço e na intensidade de brilho e pode ser considerada uma matriz, cujos elementos são chamados de pixels (picture elements). A Transformada de Discreta de Fourier Bi-dimensional (Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático francês 1768 a 1830) é uma ferramenta matemática de grande aplicabilidade na solução dos problemas de processamento digital de imagens (sinais bi-dimensionais) pois, muitas vezes, é conveniente a mudança do domínio do tempo ou espaço (x,y) para o domínio da freqüência facilitando, assim, o seu processamento. Na prática, quando queremos trabalhar uma imagem no domínio da freqüência, por exemplo, simplesmente fazemos a transformada de Fourier da referida imagem e a multiplicamos pela função de transferência de um filtro (convenientemente de acordo com a aplicação)no entanto, muitas vezes, é mais simples zerarmos os coeficientes das componentes de freqüência que queremos filtrar e tomamos, em seguida, em ambos os casos, a transformada inversa obtendo, assim, a imagem filtrada (processada). Quando zeramos os coeficientes da transformada de Fourier a partir de um certo valor, obtemos um filtro passa-baixa, ou até um certo valor, temos um filtro passa-alta, ou entre dois valores de freqüência, um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa. II Série e Transformada de Fourier de Sinais Contínuos: 1-D e 2-D. 3 Esta ferramenta matemática é muito aplicada no processamento de sinais analógicos periódicos ou não, como apresentado nas seções 2.1, 2.2, 2.3. 2.1 Representação de uma função periódica pela Série de Fourier no intervalo (- t +). Seja uma função periódica f(t) de período T, podemos representá-la pela Série de Fourier no intervalo (-) ou seja podemos decompor f(t) em componentes senoidais e cossenoidais (ou exponenciais): f t( ) Fn n= ejn?ot (1) onde Fn 1T f(t) to to+T e-jn?ot dt (2) o período de f(t) é T wp o2 ?o 2pifo é a freqüência fundamental em rad/s e fo é a freqüência fundamental em Hz n 0, 1, 2, Para encontrar a expressão de Fn, basta multiplicar ambos os lados da equação (1) por e-jn?ot e integrar no tempo (período): f t( ) Fn n= ejn?ot temos to to T+ f(t) e-jn?ot dt Fn n= to to T+ ejn?ot e-jn?ot dt to to T+ f(t) e-jn?ot dt Fn n= to to T+ dt Fn n= T to to T+ f(t) e-jn?ot dt Fn T, logo Fn 1T f(t) to to+T e-jn?ot dt 4 Portanto, a expansão de uma função periódica em série de Fourier equivale a decomposição da função em termos de suas componentes de várias freqüências ou seja, um sinal periódico apresenta um espectro de freqüência discreto e infinito. O espectro de freqüência discreto aparece em um gráfico como linhas verticais espaçadas, com alturas proporcionais ao coeficiente da componente de freqüência (Fn) correspondente. No entanto, se formos rigorosos, necessitamos de dois gráficos para representar, completamente, uma função periódica no domínio da freqüência: o espectro e amplitude e o espectro de fase visto que, os coeficientes Fns, normalmente, são complexos. 2.2 A transformada de Fourier de uma função periódica Matematicamente, a transformada de Fourier de uma função periódica não existe, uma vez que não satisfaz a condição de integrabilidade absoluta no intervalo (- ) (condição suficiente, mas não necessária). Porém, a transformada existe no limite, ou seja a transformada de Fourier de uma função periódica é a soma das transformadas da Fourier das suas componentes individuais, obtidas pela sua série de Fourier. Seja a série de Fourier de f(t), periódica em T: f(t) Fn n= ejn?ot onde ?o 2 Tp rad. Tomando a transformada de Fourier em ambos os lados, temos: ?[f(t)] ? [ Fn n= ejn?ot] Fn n= ?[ejn?ot], como, [3], ?[ejn?ot] 2pi?(? ?o), obtem-se: ?[f(t)] 2pi Fn ( n o)d w w (3) A transformada de Fourier de um sinal periódico é formada por impulsos localizados nas freqüências harmônicas do sinal e que o peso de cada impulso é 2pi vezes o valor do coeficiente na série exponencial de Fourier (Equação 2). 2.3 Representação de uma f...

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