Apostila de Dinâmica dos Corpos Rígidos

...rotação do referencial terrestre, G o centro de massa do corpo considerado e O a origem deste referencial, assumida em algum ponto de seu eixo de rotação. Assim, sendo R a resultante das forças externas agentes sobre o corpo, cujo movimento é objeto de estudo, designando F as forças externas outras que não de origem gravitacional, sobre ele agentes, pode-se então escrever, R F F P C F= + + (2.13) Por outro lado, a aceleração do centro de massa do corpo é dada por, Dinâmica dos corpos rígidos 18 ( )a a v aG O e e e Grel GrelG O= + + + W W W( ) 2 (2.14) onde os dois primeiros termos correspondem à aceleração de arrastamento, o terceiro é a aceleração de Coriolis do centro de massa e o último a aceleração do centro de massa em relação ao referencial fixo na Terra. Desta forma, sendo as forças de inércia, centrífuga e de Coriolis, dadas respectivamente por, ( )C F v m G O m e e C e Grel W W W ( ) 2 (2.15) 5 vem, utilizando-se de (2.13) e do Princípio de DAlembert, R F 0+ I (2.16) aplicado equivalentemente a (2.7), onde F aI Gm= (2.17) é o conjunto das forças de inércia, e desconsiderando a O que R P C F C F a= + +c Grelm (2.18) Assim, m Grel ca P F F= + + (2.19) Esta é a equação que efetivamente deve ser integrada, quando a posição é medida relativamente ao referencial Terra. 5 Note que 2 2 2 2W W W W e rel Corpo e rel Corpo e Grel e reldm dm m v v v Q Dinâmica dos corpos rígidos 19 3. ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO 3.1. ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO E A MATRIZ DE INÉRCIA Considere um corpo rígido e dois referenciais. O primeiro, em relação ao qual é medido o movimento e o segundo solidário ao corpo. Sejam ( )O x y z e ( ) O x y z os sistemas cartesianos que os orientam, respectivamente. O x y z z x y O P r Figura 2 C.R. e sistemas de referência. A energia cinética de um elemento diferencial de massa que compõe o corpo rígido é, por definição Dinâmica dos corpos rígidos 20 dT dm= 12 2v (3.1) A energia cinética do corpo, como um todo, fica então escrita, T dm Corpo 12 2v (3.2) Seja r ( )P O o vetor de posição relativa do elemento diferencial de massa dm ao ponto O, pertencente ao corpo (ou que executa um movimento rígido solidário ao corpo). Da fórmula fundamental da cinemática de um C.R. equação (1.2), vem v v r= + O W (3.3) e, portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) T dm dm dm dm dm dm dm O Corpo O Corpo O Corpo Corpo O Corpo O Corpo Corpo + + + + + 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 v r v v r r v v r r W W W W W (3.4) A integral no primeiro termo é facilmente identificável como a massa do corpo. Da definição de centro de massa, equação (2.1), por sua vez, a integral do segundo termo pode ser escrita, r rdm m m G O Corpo G ( ) (3.5) Dinâmica dos corpos rígidos 21 Denotando, ainda, ( ) ),( e zyxzyx rwwwW o leitor poderá verificar que o terceiro termo fica, ( ) ( ) ( ) ( )? + + + + + + r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dm y z dm z x dm x y dm y z dm z x dm x y dm Corpo x Corpo y Corpo z Corpo y z Corpo z x Corpo x y Corpo w w w w w w w w w (3.6) que também pode ser escrito, compactamente, na forma matricial, ( ) [ ] 12 122W W W r dm Corpo t OJ (3.7) 6 onde a matriz quadrada de ordem três, [ ] ( ) ( ) ( ) J + + + O Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo y z dm x y dm x z dm y x dm z x dm y z dm z x dm z y dm x y dm 2 2 2 2 2 2 (3.8) constituída por momentos de massa de segunda ordem, é denominada matriz de inércia do corpo em relação ao sistema considerado. Os termos da diagonal principal são denominados momentos de inércia em relação aos eixos ( ) x y z respectivamente e aqui serão denotados por J J Jx y z Os termos fora da diagonal são denominados 6 O super-escrito t indica a operação de transposição. Dinâmica dos corpos rígidos 22 produtos de inércia e aqui serão denotados por J J Jx y y z z x Note que, por construção, a matriz de inércia é simétrica. A matriz de inércia é uma entidade física de extrema importância, pois mede a distribuição de massa de um corpo em relação a um dado sistema de coordenadas. Goza de diversas propriedades e é fundamental ao equacionamento do movimento de um corpo rígido. Estas propriedades serão apresentadas e estudadas mais adiante. Voltando a atenção à energia cinética e substituindo as expressões (3.5) e (3.7), a equação (3.4) fica escrita na forma, [ ] T m m G OO O t O= + + 12 122v v W W W( ) J (3.9) O primeiro termo está associado à translação do corpo o segundo termo à translação e à rotação o terceiro termo, apenas à rotação. Se a escolha for tal que O G a expressão da energia cinética ficará simplificada na forma, [ ] T m G t G= +12 122v W WJ (3.10) Ou seja, a energia cinética de um corpo em movimento rígido, medida em relação a um dado referencial, pode ser decomposta em duas parcelas: a primeira associada apenas ao movimento do centro de massa e a segunda associada à rotação. Outro caso particular merece especial atenção dada sua importância conceitual e prática. Se O for um ponto fixo Neste caso tem-se, a expressão da energia cinética reduzida apenas à parcela associada à...

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