Apostila Geometria Descritiva Básica

...pontos não colineares determinam um plano, então pode-se afirmar que duas retas coplanares determinam um ponto comum. A primeira proposição é um postulado e a segunda, uma proposição decorrente. Se a primeira não for verdadeira, a segunda fica prejudicada. Teorema é uma proposição que exige comprovação, ou seja, tem que ser demonstrado. Chama-se corolário a um teorema proposto como conseqüência. Problema é uma proposição que exige solução, solução esta decorrente da aplicação de proposições específicas postulados, teoremas e corolários conforme as exigências de cada caso. 2 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS São considerados elementos geométricos fundamentais: o ponto, a reta e o plano. O ponto o mais simples dos elementos como se pode intuir, não tem forma e nem dimensão. Entretanto, qualquer forma geométrica pode ser obtida a partir do ponto. A linha, por exemplo, pode ser definida como uma sucessão contínua de pontos. Se a distância entre dois pontos não sucessivos quaisquer dessa linha for a menor possível, então essa linha é uma reta. A forma da reta leva a outra idéia puramente intuitiva que é a noção de direção. Dois pontos distintos não coincidentes, portanto determinam a direção da reta a qual pertencem. Por outro lado, a extensão de uma reta é ilimitada e o trecho situado entre dois pontos que podem determiná-la é um segmento dessa reta. Um cordão flexível esticado entre as mãos dá uma idéia perfeita do que seja um segmento de reta (ou segmento retilíneo) e da direção da reta a qual este segmento pertence. Três ou mais pontos são ditos colineares quando pertencem a uma mesma reta. Três pontos não colineares determinam um plano (ou uma superfície plana). De fato, se imaginarmos três pontos distintos, não colineares sobre o tampo de uma mesa, podemos admitir que existem três retas determinadas pelos três pontos, tomados dois a dois. Fazemos então deslizar sobre essas retas uma régua lisa, sem empenos, que, de certa maneira, pode ser aceita como a materialização de um segmento retilíneo. Verificamos que, durante o movimento, a régua não se afasta da mesa. Esse fato nos transmite a sensação de que o tampo da mesa é, de fato, plano. Por está simples observação podemos comprovar que um plano pode conter uma quantidade infinita de retas e que cada par de retas desse plano é suficiente para determiná-lo. Duas ou mais retas são ditas coplanares quando pertencem a um mesmo plano. 3 LINHA E SUPERFÍCIE Podem, também, ser considerados primitivos os conceitos de linha e de superfície. Ainda assim, a linha pode ser definida, também, como a figura descrita por um ponto que se desloca aleatoriamente no espaço ou segundo uma determinada lei. Se, ao longo do movimento, o ponto muda de direção a cada instante, a figura descrita é definida como curva, isto é, a linha é uma curva. Se não houver mudança de direção, a linha é uma reta. Se, por outro lado, durante um movimento retilíneo, o ponto muda abruptamente de direção em espaços de tempo fixos ou intermitentes, a linha descrita é uma poligonal. Ao distender um cordão flexível retesado entre as mãos tem-se uma boa noção do que seja uma curva. Se esta curva for deixada sobre o tampo plano de uma mesa e ficar inteiramente apoiada sobre ele, pode-se imaginar o que vem a ser uma curva plana. Quando uma curva não é plana, é chamada curva reversa. Superfície, por outro lado, também pode ser definida como sendo a figura descrita por uma linha que se desloca aleatoriamente no espaço. Quando a linha é uma curva reversa, qualquer que seja o movimento de que a linha esteja dotada a superfície gerada será sempre uma superfície curva. Se a linha é reta e o seu deslocamento se faz segundo uma mesma direção (movimento retilíneo), a superfície gerada será uma superfície plana. 4 FIGURA GEOMÉTRICA Face ao exposto até aqui, pode-se concluir que uma figura geométrica é um conjunto de formas caracterizadas por pontos, linhas e superfícies que se inter- relacionam segundo uma ou mais leis de geração. 5 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS Como foi visto anteriormente, a forma geométrica da reta conduz à exata noção de direção, isto é, uma reta, ou mesmo um segmento de reta, define uma direção. Era de uso corrente admitir-se que duas retas paralelas jamais se encontrariam e, portanto, não existiria ponto comum a ambas. Se observarmos um longo trecho reto de uma estrada de ferro, teremos a nítida impressão de que, ao longe, os trilhos que são paralelos se encontram num ponto distante. Um ponto no infinito. A idéia de elementos geométricos situados no infinito introduziu na geometria os chamados elementos impróprios. O conceito hoje adotado estabelece que duas retas paralelas são concorrentes num ponto impróprio, definido apenas pela direção dessas retas. Por extensão, pode-se aceitar que a reta comum a dois planos paralelos é uma reta imprópria. Um plano impróprio não pode ser definido exclusivamente por elementos próprios. É preciso que pelo menos, um dos elementos seja impróprio. Um ponto próprio e uma...

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