Aula completa de derivacao_calculo 1

...FUNÇÕES DE UMA VARIÁVELA U L A 0 9 1 8 / M A R / 2 0 0 8 Derivadas de Funções Implícitas Prof. André01 de 309.1 ? Uma Breve Introdução02 de 30Necessita-se descobrir o coeficiente angular de uma reta tangente a uma determinada curva em um determinado ponto ou, de maneira mais geral, necessita-se descobrir a derivada da função que define esta curva em relação a x (seja dy/dx). Por exemplo, a função x2y + ay2 b apresentada na AULA 07. Mas e se a equação da curva em questão não puder ser colocada na forma y=f(x) ?Nesse caso, dy/dx ainda pode ser determinado por um processo denominado derivação implícita. De acordo com este processo, considera-se y como uma função derivável implícita de x e aplica-se as regras usuais de derivação.03 de 309.2 ? Derivadas de Funções Definidas ImplicitamentePara a derivação implícita, os seguintes passos são requeridos: 1 ? Derivar os dois lados da equação em relação a x, considerando y como uma função derivável de x.2 ? Reunir os termos que contêm dy/dx em um único lado da equação.3 ? Fatorar isolando dy/dx.4 ? Encontrar dy/dx.04 de 30EXEMPLO 01 Determinar dy/dx se y2 x2 + sen xy.Soluçãoy2 x2 + sen xy05 de 30Notar que para o caso de funções implícitas, a derivada envolve ambas as variáveis x e y, e não somente a variável independente x.06 de 30EXEMPLO 02 Mostrar que o ponto (2,4) pertence à curvax3 + y3 ? 9xy 0e, em seguida, encontrar a tangente à curva nesse ponto.SoluçãoO ponto (2,4) está na curva porque suas coordenadas satisfazem a equação dada para a curva. Ou seja:(2)3 + (4)3 ? 9(2)(4) 0Resulta:0 0Para encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva em (2,4), necessita-se primeiro encontrar dy/dx. 07 de 30x3 + y3 ? 9xy 0Seja a função:Fazendo a derivada de cada termo em relação a x resulta:08 de 30Calculando a derivada em (x,y) (2,4) resulta:A tangente em (2,4) é a reta que passa por (2,4) e tem coeficiente angular 4/5. A equação desta reta é dada por:y ? y0 mtg (x ? x0)09 de 30EXEMPLO 03 Seja a função 5y2 + sen y x2. Determinar dy/dx.Solução5y2 + sen y x210 de 30SoluçãoEXEMPLO 04 Determinar para a função 4x2 ? 2y2 9.4x2 ? 2y2 9Determinando11 de 30Determina­ndoFazendo a derivada de cada lado da equação:em relação a x resulta:12 de 30De acordo com a equação original, 4x2 ? 2y2 9. Portanto:13 de 30SoluçãoEXEMPLO 05 Determinar as equações das retas tangentes nos pontos (2,1) e (2,1) para a função y2 ? x + 1 0.A curva da função y2 ? x + 1 0 é apresentada ao lado.14 de 30Uma maneira de resolver este problema seria resolver a equação para y em termos de x e, então, calcular a derivada deno ponto (2,1) e a derivada de no ponto (2,1). Entretanto, a diferenciação implícita é mais eficiente, uma vez que dá ambas as inclinações ao mesmo tempo.15 de 30Diferenciando a função y2 ? x + 1 0 implicitamente, resulta: y2 ? x + 1 0Assim, as inclinações das retas tangentes nos pontos (2,1) e (2,1) são:16 de 30Assim, as equações das retas tangentes à curva nos pontos (2,1) e (2,1) são dadas por:ponto (2,1):y ? y0 mtg(x ? x0)y ? (? 1) (?)(x ?2)y + 1 (?)x + 1y ? xponto (2,1):y ? y0 mtg(x ? x0)y ? 1 ()(x ?2)y ? 1 ()x ? 1y x17 de 30Solução (a)EXEMPLO 06 (a) Usar a diferenciação implícita para achar a dy/dx para a função x3 + y3 3xy.(b) Achar a equação para a reta tangente à curva no ponto (3/2,3/2)(c) Em quais pontos da curva a reta tangente é horizontal ?x3 + y3 3xy18 de 3019 de 30Solução (b)A inclinação da reta tangente à curva no ponto (3/2,3/2) é dada por:A equação da reta tangente à curva nesse ponto é dada por:y ? y0 mtg(x ? x0)y ? 3/2 (? 1) (x ? 3/2)y ? 3/2 ? x + 3/2y ? x + 3/2 + 3/2 y 3 ? x que também pode ser escrita como x + y 320 de 30Solução (c)A reta tangente é horizontal a uma curva nos pontos onde dy/dx 0.Portanto, as retas tangentes ocorrem em:Substituindo esta expressão para y na equação original, resulta:x3 + (x2)3 3x(x2)2x3 ? x6 0ou:x6 ? 2x3 021 de 30x6 ? 2x3 0 pode ser escrito como x3(x3? 2) 0Assim, as raízes de x3(x3? 2) 0 são x 0 e x 21/3. Utilizando a reta tangente é horizontal nos pontos: (0,0)(21/3, 22/3) ou aproximadamente (1.26,1.59)22 de 30SoluçãoEXEMPLO 07 Usar a diferenciação implícita para achar a dy/dx para afunção 23 de 3024 de 30ou:25 de 30SoluçãoEXEMPLO 08 Usar a diferenciação implícita para achar a dy/dx para afunção sen(x2y2) x.sen(x2y2) x26 de 3027 de 30SoluçãoEXEMPLO 09 Usar a diferenciação implícita para achar a dy/dx para afunção tg3( xy2 + y ) x.tg3( xy2 + y ) x28 de 3029 de 3030 de 30crédito da figura de fundoA Pequena Nuvem de MagalhãesExcluindo a Via Láctea, as outras três galáxias que podemos ver a olho nu são:A galáxia de Andrômeda, a Grande Nuvem de Magalhães e a Pequena Nuvem de Magalhães....

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